Скалярное произведение векторов, свойства, применение.

Векторы, линейные операции над ними, разложение по базисам. Главные формулы, связанные с декартовыми координатами.

Вектором именуется направленный отрезок АВ с исходной точкой А и конечной точкой В, мы будем рассматривать свободные векторы т.е. те которые можно переносить параллельно самим для себя.

Длиной либо нормой вектора АВ именуется длина отрезка Скалярное произведение векторов, свойства, применение. АВ. Длину вектора АВ обозначают |АВ|. Вектор длина которого равна 1 именуется единичным либо ортом. Свободный вектор совершенно точно определяется собственной длиной и направлением.

Векторы, лежащие на параллельных прямых именуются коллинеарными.

Векторы именуются компланарными, если сущ. Плоскость, которой они параллельны.

Лин. операции над векторами.

Для свободных векторов определены операции сложения Скалярное произведение векторов, свойства, применение., вычитания и умножения их на действительные числа.

Сумма 2-ух векторов А и В именуется вектор (А+В), который выходит из векторов А и В. Сумма конечного числа n векторов а1,а2,..аn по определению , есть замыкающий вектор ОАn

Вектор (-В) именуется обратный ему вектор В.

Разностью 2-ух векторов А и В Скалярное произведение векторов, свойства, применение. именуется вектор (А-В), суммой векторов А и –В ориентирован к концу вектора А.

Произведением вектора А на действительное число Альфа наз. Вектор В=Альфа*А, длина которого |Альфа|*|A|. Совпадает с направлением А, если Альфа>0. Если меньше….напротив.

Если а не равно 0 то единичный вектор а0 =а/|а| именуется Скалярное произведение векторов, свойства, применение. ОРТОМ.

Характеристики.

1.А+В=В+А 2.(А+В)+С=А+(В+С) 3. А+0=А 4. А+(-А)=0

5. альфа*(Бета*а)=(Альфа*Бета)*А 6.1*А=А 7. (Альфа+Бета) *А=Альфа*А+бета*В

Огромное количество векторов уд свойствам 1-8 наз. линейным либо векторным местом.(R3)

Проекция вектора. Угол меж 2-мя Скалярное произведение векторов, свойства, применение. векторами наз. Меньший угол ФИ(0;пи), на который необходимо повернуть один вектор чтоб он совпал по направлению с другим вектором. Проекция вектора а=АВ на ось L именуется длина отрезка А1В1, заключённого меж ортогональными проекциями начала и конца вектора АВ на эту ось, взятая со знаком минус, если не Скалярное произведение векторов, свойства, применение. совпадает. ПР л А=|А|*cos Fi

Направленный отрезок Ал=А1В1 именуется ортогональная составляющей вектора АВ по оси Л.

Ортогональная составляющей вектора А=(ПРлА)*10 , где 10 – единичный вектор, соответственный направлению оси Л.(2 характеристики)

Лиин зависим векторов. Векторы e1,e2,e3, … en именуются линейно зависимыми если сущ такие неизменные числа во Скалярное произведение векторов, свойства, применение. Лямда1, Лямда2.. не все одноврем равные нулю, что производится равенство

Лямда1*е1+Лямда2*e2…+ЛямдаN*eN=0. => eN=(-Лямда1/ЛямдаN)*e1-…-(ЛямдаN-1/ЛямдаN)*eN-1

eN линейно выражается через комбинацию пред. Векторов.

Если равенство вып только пря ВСЕХ равных лямда Тл векторы линейно-независимые.

Вектор единственным образом разлагается в три некомпланарных вектора.

Любые Скалярное произведение векторов, свойства, применение. три компланарных вектора всегда линейно –зависимы.

Любые 4 вектора в простр линейно-зависимы. Коефф (лямда) – координаты вектора в данном базисе.

Базис образует неважно какая тройка некомпланарных векторов.

Декартова сист координ.

r=xi+yj+zk. X,y,z – координ вектора r в базисе I,j,k. Координаты являются проекциями на оси.(аксиома Скалярное произведение векторов, свойства, применение.). |a|=Корень(x*x*+y*y+z*z) cos(Alfa)=x/|a|, Beta, Gama… cos2A+cos2B+cos2C=1

Расстояние - |АВ|=Корень( (х2-х1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2) Конца-начала.

Скалярное произведение векторов, характеристики, применение.

Скалярным произведением вект. А и В именуется число, равное произведению длин этих Скалярное произведение векторов, свойства, применение. векторов, умноженному на косинус угла меж ними

Характеристики. 1. Скалярное произведение коммутативно. 2. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей. 3 дистрибут. отн сум. (а,в+с)=(а,в)+(а,с) 4. Скалярное произведение 2-ух векторов равно нулю и тогда только тогда когда хотя бы один из вект. нулевой или они перпендикулярны.

Скалярным Скалярное произведение векторов, свойства, применение. квадратом именуется скалярное произведение вектора на себя => равен квадрату длины вектора.

Cos(a^b)=(a,b)/|a|*|b| прab=(a,b)/|a|. Длина |a|=Корень(x2+y2+z2)

Скалярное произведение в коорд форме.Коорд орты i,j,k имеют длины, равные единицы i2=j2=k2=1, их обоюдное произведение равно Скалярное произведение векторов, свойства, применение. 0 . (a,b) =ax*bx+ay*by+az*bz. Cos и ПР находятся с пом координат.

3. Определители 2 и 3 порядка. Нахождение вектора, перпен. двум неколлин.
Решим задачку: отыскать вектор n(x,y,z) ортогональный двум неколин векторам a1=(m1,n1,p1) и

a2=(m2,n2,p2) Из условия ортогональности имеем (a Скалярное произведение векторов, свойства, применение.1,n)=0 и (а2,n)=0 (cистема). Решив полчим

что y=z*(m2p1-m1p2)/(m1n2-m2n1) x=z*(n1p2-n2p1)/(m1n2-m2n1) è n(x,y,z). Придавая z произвольные значения получаем беск огромное количество векторов. Если z=m1n2-m2n1 получаем n=(x,y,z Скалярное произведение векторов, свойства, применение.)=(n1p2-n2p1,m2p1-m1p2,m1n2-m2n1)

Пусть a1b2-a2b1=|a2a1 b2b1| - определитель второго порядка è правило. Составим таблицу из корд векторов a1 и a2
Вычёркивая поочерёдно столбцы получаем координаты по порядку. 2-ой с минусом.

4. Векторное произведение векторов, характеристики, применение.
Пусть Скалярное произведение векторов, свойства, применение. в пространстве заданы два ортонормированных базиса е1,е2,е3 и 3 со штрихами. Назовём эти базисы идиентично нацеленными, если их можно скооперировать с помощью движения. Тройка векторов начала которых совмещены, именуется левой, если из конца вектора е3 кратчайший поворот от е1 к е3 виден по часовой стрелке. Если же этот Скалярное произведение векторов, свойства, применение. поворот виден против часовой то тройка именуется правой.

Векторное произведение.Пусть i,j,k – правый базис места R3 . Вект. произведением именуется дыух векторов а и б именуется 3-ий вектор с, удовлетворяющий трём условиям: 1.|c|=|a|*|b|*sinFi,Fi=(a^b) 2.c_|_a и b 3.Векторы образуют правую тройку.Обозн [a,b Скалярное произведение векторов, свойства, применение.].

Характеристики векторного произведения.1. Длина вектора [a,b] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и б, приведённых к общему началу. 2.Векторное произведение равно 0 когда векторы коллин. либо какой-то из них нулевой. => [a,b]=0 условие коллинеарности. 3.[a,b]=-[b,a](антикоммут) 4 [αa,b]= α[a,b Скалярное произведение векторов, свойства, применение.]
[a, βb]= β[a,b] α,β?R.

Следствие. [α a, βb]= α β[a,b] α,β?R.

5. Смешанное произведение, характеристики, применение. Двойное векторное произведение.
В пространстве R3любая тройка некомпланарных векторов a,b,c приложенных к одной точке, определяет некий параллелепипед, рёбрами которого являются эти векторы. Припишем объёму этого параллелепипеда символ плюс, если тройка a,b Скалярное произведение векторов, свойства, применение.,c правая, и символ минус, если она левая. Таковой параллелепипед именуется нацеленным.Смешанным произведением трёх векторов именуется число (a,b,c)=([a,b],c)
Характеристики.1.Смешанное произведение (a,b,c) равно объёму нацеленного параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу некомпланарных векторах a,b и с.
2.Смешанное произведение равно нулю Скалярное произведение векторов, свойства, применение., если векторы a,b,c компланарны(угол θ =π/2, тогда a,b,c лежат в одной плоскости) (a,b,c)=0 является условие копланарности трёх векторов a,b и c.
3.([a,b],c)=(a,[b,c]) Справедливость условия следует из равенства (a,[b,c])=([b,c],a) , потому что тройки a,b,c Скалярное произведение векторов, свойства, применение. и b,c,a идиентично нацелены, и из характеристики 1. В силу коммутативности скалярного произведения и антикоммутативности векторного из характеристики 3 получаем цепочку равенств. (a,b,c)=(c,b,a)=(b,c,a)=-(b,a,c)=-=(c,b,a)=-(a,c,b).
4. Линейность смешанного произведения : (αa1+βa2,b,c)=α(a Скалярное произведение векторов, свойства, применение.1,b,c)+β(a2,b,c)
Справедливость этого характеристики следует из равенства и линейности скалярного произведения.
Координатная форма. По определению [i,i]=[j,j]=[k,k]=0 [i,j]=k,[j,k]=i,[k,i]=j [j,i]=-k,[k,j]=-i,[i,k]=-j
[a,b]=(y1z2-y Скалярное произведение векторов, свойства, применение.2z1)i+(z1x2-z2x1)j+(x1y2-x2y1)k=опред. 3 порядка.
Смешанное произведение (a,b,c)=([a,b],c)=|x1x2x3 y1y2y3 z1z2z3|.

6. Ровная на плоскости и плоскость в пространстве.
Каноническое уравнение прямой. Ровная Л в пространстве определяется совершенно точно, если Скалярное произведение векторов, свойства, применение. известны точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, параллельный прямой, именуемый направляющий вектором этой прямой, либо если известны две точки. Канонические уравнения прямой (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p если даны M0(x0,y0,z0) – точка. a(m,n,p) - ненулевой вектор. M(x,y,z) - случайная точка Скалярное произведение векторов, свойства, применение. на прямой.
Уравнение прямой через две точки M0=(x0,y0,z0) M1=(x1,y1,z1) a=M0M1=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)
(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)=(z-z0)/(z1-z0)
Параметрические векторные уравнения прямой r=r0+M0M r=r0+ta Скалярное произведение векторов, свойства, применение. t?R.В координатной форме x=x0+tm y=y0+tn z=z0+tp t?R (параметрические уравнения прямой в пространстве)
Общее уравнение плоскости. M0(x0,y0,z0) – точка. n(A,B,C) - ненулевой вектор, именуемый обычным,M(x,y,z) - случайная точка плоскости. r – r0=M0M=(x Скалярное произведение векторов, свойства, применение.-x0,y-y0,z-z0) _|_n -> (n,r-r0)=0 либо A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Общее уравнение плоскости. Ax+By+Cz+D=0, где D=-Ax0-By0-Cz0
Уравнение плоскости параллельной двум векторам. Два неколин вектора a1(m1,n1,p1) и a2(m2,n2,p2) и Скалярное произведение векторов, свойства, применение. точку
M0(x0,y0,z0) |n1n2p1p2|(x-x0)-|m1m2p1p2|(y-y0)+|m1m2n1n2|(z-z0)=0
Уравнение плоскости через три точки.(три точки … два вектора MoM1 И M0M2… n_|_плоск коефф A,B,C)

Обычное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. xcos Скалярное произведение векторов, свойства, применение.α+ycosβ+zcosγ-p=0 p>=0
Ax+By+Cz+D=0 поделить на ±Корень(A2+B2+C2),где символ перед радикалом противоп D.Множитель μ=1/±+n+=1/±Корень(…).. Расстояние от точки М до плоскости данной векторным уравнением.

М0(x0,y0,z0) p=|Ax0+By0+Cz0|/Корень(A2+B2+C2)


skazka-bil-neizvestnij-cvetok.html
skazka-carevna-lyagushka-russkaya-narodnaya-skazka-ivan-krestyanskij-sin-i-chudo-yudo.html
skazka-dayushaya-silu-roda-pervaya-v-svoem-rodu.html